У чего бывают корни 100 к 1 ответ

Что такое квадратный корень

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Что такое квадратный корень

Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:
√a = x
x 2 = a
x ≥ 0
a ≥ 0

Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.

Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.

Попробуем найти корень из √-16

Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.

Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.

Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.

Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:

Это два нетождественных друг другу выражения.

Из выражения x 2 = 16 следует, что:

Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.

В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.

Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:

Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.

Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.

Даны два выражения:

Первое выражение — квадратное уравнение.

Второе выражение — арифметический квадратный корень.

Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.

Примеры иррациональных чисел:

Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.

Дано уравнение: x 2 = 2.

Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит.

Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:

1 * 1 = 1,
2 * 2 = 4,
3 * 3 = 9.

Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.

Извлечение корней

Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.

Таблица квадратов

Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх — 5.

Ищем в таблице число 7396.

Ищем в таблице число 9025.

Ищем в таблице число 1600.

Извлечением корня называется нахождение его значение.

Свойства арифметического квадратного корня

У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.

Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три операции с корнями. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.

Умножение арифметических корней

Для умножения арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.

Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:

Деление арифметических корней

Для деления арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.

Возведение арифметических корней в степень

Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:

Примеры:

Эти две формулы нужно запомнить:

Повторите свойства степеней или запишитесь на курсы по математике, чтобы без труда решать такие примеры.

Внесение множителя под знак корня

Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.

А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.

Число семь умножено на квадратный корень из числа девять.

Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.

В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня.

Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.

Вы помните, что (√a) 2 = a

Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же.

7√9 = √7 2 * 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21.

Формула внесения множителя под знак корня:

Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.

Вынесение множителя из-под знака корня

С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.

Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.

Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.

Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.

В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:

Таким образом множитель выносится из-под знака корня.

Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.

Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.

Сравнение квадратных корней

Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.

Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.

Если:

Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.

Ответ: преобразовываем выражение 9√5.

9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405

Ответ: преобразовываем выражение 7√12.

7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588

Это значит, что 7√12 > √20.

Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.

Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.

Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.

Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.

Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.

Извлечение квадратного корня из большого числа

Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.

Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.

Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:

Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.

Извлечем корень из √2116.

Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.

Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.

Как пользоваться таблицей

4 2 = 16 ⇒ 6

5 2 = 25 ⇒ 5

6 2 = 36 ⇒ 6

7 2 = 49 ⇒ 9

8 2 = 64 ⇒ 4

9 2 = 81 ⇒ 1

Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.

Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.

Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.

Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.

Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.

Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.

Еще пример. Извлечем корень из числа √11664

Разложим число 11664 на множители:

Запишем выражение в следующем виде:

Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.

Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.

Бесплатный марафон Как создавать игры и развиваться в том, что нравится

Источник

Русский язык

План урока:

Теоретические основы

Чтобы разобраться с правописанием данной морфемы, нужно узнать, что обозначает это понятие. Рассмотрим, какое толкование корню дают лингвисты.

Что такое корень. Различные значения

Под морфемой понимается единичная часть слова, которая несет определенное значение и выражает конкретный исторический смысл. В данном уроке мы рассматриваем корень как морфему. Корень – многозначное слово и может быть интерпретировано по-разному. Морфема передает основное значение слова и почти не меняется, за исключением некоторых букв на конце. Иными словами, это самый значимый промежуток единицы языка. Ожегов в своем толковом словаре дает следующее определение корню:

«Основная, значимая часть слова, вычленяемая в нем после отделения окончания, приставок и суффиксов».

В словаре Ушакова приводится другая интерпретация этого понятия:

«Корень – это значимая морфема, которая является главной в слове».

Эти определения хоть и разные по звучанию, но имеют один общий смысл. То есть можно сказать, что корнем является отдельная значимая часть слова, которая передает уникальный смысл и является основой для образования других однокоренных слов. Таким образом, корень представляет собой самую главную морфему.

Функции корня. Роль в слове

Без корня невозможно представить существование ни одного слова. Иногда единицы языка и состоят из одной этой морфемы. Однако помимо главенствующей роли, корень выполняет и множество других функций:

Корень слова можно сравнить с корнем дерева. На нем держатся все единицы языка. Данная морфема располагается в самой земле, от корня уже идет стебель с веточками. Ветвями и будут новые однокоренные слова, которые питаются от основания. Поэтому эта морфема очень важна в составе каждой единицы.

Обозначение и расположение корня. Особенности однокоренных слов

Корень может располагаться в любом месте слова: в начале, середине или конце. Все зависит от значения, которое обретает единица языка. Обозначается в основном плавно изогнутой дугой. Иногда корнем может быть все слово.

Примеры корней в словах и их обозначения:

Под однокоренными словами понимаются такие единицы языка, которые имеют одинаковый корень, но разные морфемы, которые стоят рядом. Нельзя путать эти слова с видообразованием. Поэтому данные категории важно четко различать.

Если меняется только окончание, то слово не будет считаться однокоренным, а только видоизмененным. Это происходит только при добавлении новых или дополнительных морфем.

Чередующиеся корни

Эта морфема считается одной из самых сложных в правописании. Поэтому нужно ознакомиться со всеми правилами, особенно для чередующихся корней. Рассмотрим теорию более подробно, чтобы потом без проблем применить ее на практике.

Что такое чередующиеся корни. Перечень корней

Список чередующихся корней важно помнить и знать. Это поможет при решении заданий с выставлением пропущенной буквы или при обычном написании слова. В этих правилах присутствует логика, если за ней внимательно следить. Но некоторые моменты все-таки необходимо запоминать.

К чередующимся корням, в которых меняется гласная, относятся следующие морфемы:

Для каждой категории существует свое отдельное правило для запоминания. Особенность чередующихся корней заключается в том, что их нельзя проверить при помощи других однокоренных слов.

Правила правописания чередующихся корней. Примеры и исключения

Рассмотрим более подробно все условия выбора гласных для чередующихся корней.

Главное запомнить этот перечень, поскольку подставить проверочные слова для выяснения правильного написания не получится. Они, словно шпионы, способны маскироваться под любую ситуацию и менять свой облик.

Проверяемые корни

К данной категории относятся морфемы, которые можно проверить при помощи подбора однокоренных слов.

Что такое проверяемые корни. Особенности

В отличие от чередующихся, данные корни можно с легкостью проверить. Для этого не нужно запоминать какие-то особые правила и трудные случаи. Достаточно знать схему проверки. Сделать это можно следующим образом:

Однако особенность этой категории заключается в том, что иногда слово с похожим корнем подобрать очень сложно, и его начинают относить к непроверяемым морфемам. В этом случае стоит перебирать в голове все слова, которые приходят на ум, тогда точно невозможно будет ошибиться.

Примеры единиц речи с проверяемыми корнями:

Речонка, неувядающий, половчее, покатился и т.д.

Как проверить слово. Подробная схема

Чтобы не возникало проблем с проверкой однокоренных слов, достаточно пользоваться стандартным алгоритмом. Подбирать безударную гласную необходимо следующим образом:

Рассмотрим более подробно на примере:

Непроверяемые корни

К последней категории правописания корней относятся морфемы, которые необходимо только запоминать. Они имеют лишь один вид, который не может быть изменен ни при каких обстоятельствах. Все данные слова занесены в орфографические словари русского языка.

Словарик непроверяемых гласных в корне слова:

Источник