известно что где и двузначные числа равно
И если из этого двузначного числа вычесть сумму его цифр.
То получится число.
Сумма цифр двузначного числа равна наибольшему однозначному числу, а число десятков на два меньше этой суммы?
Сумма цифр двузначного числа равна наибольшему однозначному числу, а число десятков на два меньше этой суммы.
Цифра десятков в двузначном числе на три больше цифры единиц и равна 7.
Вопрос 1 Какие это числа?
Вопрос 1 Какие это числа?
Сумма цифр двузначного числа равна наибольшему однозначному числу, а число десятков на два меньше этой суммы?
Вопрос 2 Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему двузначному числу, а цифра десятков в четыре раза меньше цифры единиц?
Вопрос 3 Цифра десятков в двузначном числе на три больше цифры единиц и ровна семи?
Известно, что двузначное число, где количество десятков в 2 раза меньше числа единицы?
Известно, что двузначное число, где количество десятков в 2 раза меньше числа единицы.
И если из этого двузначного числа вычесть сумму его цифр, то получится число, кратное шести.
Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему двузначному числу, а цифра десятков в два раза меньше цифры единиц?
Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему двузначному числу, а цифра десятков в два раза меньше цифры единиц.
Известночто это число двузначное где количество десятков в 2 раза меньше числаь едениц и если из этого двузначнго числа вычесть сумму его цыфр то получится число кратное шести найди это число?
Известночто это число двузначное где количество десятков в 2 раза меньше числаь едениц и если из этого двузначнго числа вычесть сумму его цыфр то получится число кратное шести найди это число.
В двузначном числе количество десятков в 2 раза меньше числа единиц если из этого двузначного числа вычесть сумму его цифр то получится 18 Найдите это число?
В двузначном числе количество десятков в 2 раза меньше числа единиц если из этого двузначного числа вычесть сумму его цифр то получится 18 Найдите это число.
В двузначном числе количество десятков в два раза меньше числа единиц если из этого числа вычесть сумму его цифр то получится 27?
В двузначном числе количество десятков в два раза меньше числа единиц если из этого числа вычесть сумму его цифр то получится 27.
Сумма цифр двузначного числа равна 8 количество десятков в 3 раза меньше количества единиц Найдите это число?
Сумма цифр двузначного числа равна 8 количество десятков в 3 раза меньше количества единиц Найдите это число.
Если поменять местами цифры, то получится число, которое в 54 раза меньше первоначального.
Найдите двузначное число.
У двузначного числа количество десятков в 3 раза больше, чем количество единиц?
У двузначного числа количество десятков в 3 раза больше, чем количество единиц.
Если поменять местами цифры, то получится число, которое на 54 меньше первоначального.
Найдите двузначное число.
Полный угол = 360 гр 1) 360 * 95% = 360 * 95 / 100 = 342 гр 2) 360 * 30% = 360 * 30 / 100 = 108 гр.
6 * х = 2. 4 * 4. 5 6х = 10. 8 х = 1. 8.
Известно, что двузначное число, где количество десятков в 2 раза меньше числа единицы?
Известно, что двузначное число, где количество десятков в 2 раза меньше числа единицы.
И если из этого двузначного числа вычесть сумму его цифр, то получится число, кратное шести.
2 в 2 раза меньше 4.
Если вычесть 2 + 4 = 6, то будет 18.
И если из этого двузначного числа вычесть сумму его цифр.
То получится число.
Вопрос 1 Какие это числа?
Вопрос 1 Какие это числа?
Сумма цифр двузначного числа равна наибольшему однозначному числу, а число десятков на два меньше этой суммы?
Вопрос 2 Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему двузначному числу, а цифра десятков в четыре раза меньше цифры единиц?
Вопрос 3 Цифра десятков в двузначном числе на три больше цифры единиц и ровна семи?
Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему двузначному числу, а цифра десятков в два раза меньше цифры единиц?
Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему двузначному числу, а цифра десятков в два раза меньше цифры единиц.
Известночто это число двузначное где количество десятков в 2 раза меньше числаь едениц и если из этого двузначнго числа вычесть сумму его цыфр то получится число кратное шести найди это число?
Известночто это число двузначное где количество десятков в 2 раза меньше числаь едениц и если из этого двузначнго числа вычесть сумму его цыфр то получится число кратное шести найди это число.
В двузначном числе количество десятков в 2 раза меньше числа единиц если из этого двузначного числа вычесть сумму его цифр то получится 18 Найдите это число?
В двузначном числе количество десятков в 2 раза меньше числа единиц если из этого двузначного числа вычесть сумму его цифр то получится 18 Найдите это число.
В двузначном числе количество десятков в два раза меньше числа единиц если из этого числа вычесть сумму его цифр то получится 27?
В двузначном числе количество десятков в два раза меньше числа единиц если из этого числа вычесть сумму его цифр то получится 27.
Сумма цифр двузначного числа равна 8 количество десятков в 3 раза меньше количества единиц Найдите это число?
Сумма цифр двузначного числа равна 8 количество десятков в 3 раза меньше количества единиц Найдите это число.
Если поменять местами цифры, то получится число, которое в 54 раза меньше первоначального.
Найдите двузначное число.
У двузначного числа количество десятков в 3 раза больше, чем количество единиц?
У двузначного числа количество десятков в 3 раза больше, чем количество единиц.
Если поменять местами цифры, то получится число, которое на 54 меньше первоначального.
Найдите двузначное число.
У двузначного числа десятков в 3 раза больше, чем количество единиц?
У двузначного числа десятков в 3 раза больше, чем количество единиц.
Найдите двузначное число.
Полный угол = 360 гр 1) 360 * 95% = 360 * 95 / 100 = 342 гр 2) 360 * 30% = 360 * 30 / 100 = 108 гр.
6 * х = 2. 4 * 4. 5 6х = 10. 8 х = 1. 8.
Известно что где и двузначные числа равно
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено 
а) Если частное равно 
то 
что верно, например, при 
— частное числа 
и суммы его цифр равно 
б) Если частное равно 
то 
Так как a
Учитывая, что 
получаем:
откуда 
Частное числа 
и суммы его цифр равно 
Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного 
и суммы его цифр равно
Ответ : а) да; б) нет; в) 91.
В пункте а) можно решить без подбора, точной методикой:
100a+10b+c=90a+90b+90c, тогда 10a-80b=89c и 10(a-8b)=89c.
Число 89*с не делится нацело на 10, так как с натуральное число от 1 до 9 или 0, число a-8b является целым, так как числа a и b натуральные. Значит, a-8b=c=0, откуда a-8b=0. Тогда так как a
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за проигрыш ─ 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.
а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 3, d = 2?
б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10.
в) Каковы все возможные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?
а) Каждая из двух девочек могла выиграть оба раза у всех троих мальчиков, получив в сумме 6 очков. Сыграв две партии друг с другом, девочки распределили между собой ещё 2 очка. Всего 
очков.
б) Играя по две партии каждый с каждым, десять детей играют всего 
партий. В каждой партии вне зависимости от её исхода разыгрывается одно очко. Поэтому всего набрано 90 очков.
в) Всего детей было 
играя по две партии каждый с каждым они сыграли между собой 
партий и разыграли 
очков. Из них у мальчиков три четверти очков, а у девочек — одна четверть, то есть у девочек 
очков. Заметим, что если каждая девочка выиграла у всех мальчиков, то вместе девочки набрали максимум 
очков, а играя между собой, девочки распределили 
очков. Поэтому наибольшее количество очков, которое могли набрать девочки, равно 
Тем самым, имеем: 
Следовательно, девочек не могло быть больше одной.
Если девочка была одна, то мальчиков было семеро. Они сыграли 56 партий и разыграли 56 очков. Девочка набрала 14 очков, выиграв у каждого из мальчиков по две партии. Играя между собой, мальчики разыграли оставшиеся 42 очка.
Ответ: а) 14; б) 90; в) 1.
Приведём похожее решение.
а) Всего девочки играют 2 партии между собой и 12 партий против мальчиков (по 6 каждая). Поэтому максимальное суммарное число очков, которые они могут набрать, равно 2+12=14.
б) Если участников всего 10, то каждый играет с 9-ю другими участниками по два раза, значит, всего происходит 18 туров по 5 партий в каждом. В 90 партиях разыгрывается 90 очков, поэтому ответ 90.
в) Пусть девочек 
а мальчиков 
В партиях между собой девочки набрали 
очков, а мальчики в партиях между собой набрали 
очков. Всего состоялось партий. Значит, партий между мальчиками и девочками состоялось 
Пусть девочки набрали в них x очков. Тогда получаем уравнение: 
откуда 
или 
Ясно, что 
отсюда 
то есть 
или 
Понятно, что 0 — посторонний корень. Если девочка была одна, то мальчиков было 7, в случае, когда девочка выиграла у всех мальчиков по два раза, она набрала 14 очков. При этом мальчики сыграли между собой 42 партии и набрали 42 очка, например, сыграли все эти партии вничью или любым другим образом.
Решения и ответы муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике в 2009-2010 учебном году
муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников
по математике в 2009-2010 учебном году
1.Найдите наименьший целый корень уравнения 
.
2.В треугольнике 
биссектриса 
равна отрезку 
. Найдите угол , если 
.
Ответ. 
Решение:
Пусть отрезок 
симметричен 
относительно (см. рис.).
Так как — биссектриса, точка 
лежит на прямой 
. 
как симметричные, значит, 
, т. е. — медиана 
. Так как равнобедренный, его медиана является высотой, т. е. 
. Тогда и 
.
3. На 22 карточках написаны натуральные числа от 1 до 22. Из этих карточек составили 11 дробей. Какое наибольшее число этих дробей могут иметь целые значения?
Ответ. Десять дробей, например: 
.
Покажем, что больше десяти дробей, равных целым числам, получить нельзя. Рассмотрим простые числа 13, 17 и 19. Они могут дать целое число только при делении на 1. Поэтому даже если одно из чисел 13, 17, 19 поделено на 1, то оставшиеся два «испортят» по крайней мере одну дробь. Всего же дробей 11. Следовательно, больше десяти дробей, равных целым числам, получить нельзя.
4. Сколько существует пар двузначных чисел 
и 
, для которых произведение 
является числом, записанным одинаковыми цифрами?
Если и — двузначные числа, то произведение — либо трехзначное, либо четырехзначное число. Предположим, что — четырехзначное число, записанное одинаковыми цифрами. Тогда должны выполняться равенства 
, где 
-ненулевое однозначное число, что невозможно для двузначных чисел и , поскольку 101 – простое число.
Следовательно, всего имеется 7 искомых пар.
Допустим, каждое вычеркнутое число написали ровно два человека. Так как они оба его вычеркнули, то число вычеркнутых записей четно. Но первоначальное число записей, ровно 300, четно. Поэтому должно быть четным и число оставшихся записей. Однако по условию осталось нечетное число записей: 45+68+54=167. Противоречие.
муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников
по математике в 2009-2010 учебном году
1. Имеется 30 бревен, длины 3 и 4 метра, суммарная длина которых равна 100 метров. Каким числом распилов можно распилить бревна на чурбаны длины 1 метр? (Каждым распилом пилится ровно одно бревно).
Первое решение: Склеим все бревна в одно 100 – метровое бревно. Для его раздела на 100 частей нужно сделать 99 распилов, из которых 29 уже было сделано.
Второе решение: Если было 
трехметровых и 
четырехметровых бревен, то 
, откуда 
. Поэтому нужно сделать 
распилов.
2. Какое наименьшее количество чисел нужно исключить из набора 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 так, чтобы оставшиеся числа можно было разбить на две группы с одинаковым произведением чисел в группах? Приведите пример такого разбиения на группы.
Ответ. Нужно исключить три числа, например, 3,7 и 11.
Подойдут группы, произведение чисел в которых равно 1440, например, 
и 
. Очевидно, что числа 7 и 11 должны быть исключены. Произведение остальных чисел есть 
. Поэтому еще необходимо исключить 3 или 12.
3. Точка пересечения медиан 
треугольника является центром окружности, вписанной в треугольник 
. Докажите, что треугольник — равносторонний.
Решение. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому диагональ 
(см. рис.) параллелограмма
( 
и 
— средние линии 
)
является биссектрисой его угла 
. Значит, — ромб. Но тогда
, т. е. 
. Аналогично, 
.
4. Назовём натуральное число особым, если оно представимо в виде 
, где и — целые числа. Докажите, что произведение двух особых чисел – также особое число.
Утверждение задачи следует из тождества: 
.
5. В шахматном турнире в школе участвовало 20 участников. Каждый сыграл с каждым по одной партии. После окончания турнира оказалось, что ровно один ученик набрал 9,5 очков и он занял девятнадцатое место. Мог ли победитель турнира обойти игрока, занявшего второе место, на 1 очко?
В любом случае первого от второго отделяет не более 0,5 очка.
муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников
по математике в 2009-2010 учебном году
1. Известно, что x и y – различные числа, причем (x – 2009)(x – 2010) = (y – 2009)(y – 2010). Какие значения может принимать выражение x + y?
Первый способ. В данном равенстве раскроем скобки, перенесем все в левую часть, и разложим ее на множители: x2 – y2 – 4019x + 4019y = 0 Û (x – y)(x + y – 4019) = 0. Так как x ¹ y, то x + y = 4019.
Второй способ. Пусть (x – 2009)(x – 2010) = (y – 2009)(y – 2010) = с, тогда x и y – корни квадратного уравнения z2 – (2009 + 2010)z + 2009×2010 – c = 0. По теореме Виета находим сумму корней полученного квадратного уравнения: x + y = 2009 + 2010 = 4019.
2. Кузнечик прыгает по координатной прямой. Сначала он прыгает из точки с координатой 0 в точку с координатой 1, а длина каждого следующего прыжка вдвое больше предыдущего. Сможет ли он вернуться в исходную точку, двигаясь подобным образом? (Направление каждого прыжка: влево или вправо – не зависит от направления предыдущего прыжка.)
3. Известно, что сумма четырех целых чисел кратна шести. Докажите, что сумма кубов этих чисел также кратна шести.
Заметим, что если n – целое число, то n3 – n кратно 6. Действительно, n3 – n = n(n2 – 1) = (n – 1)n(n + 1), что представляет собой произведение трех последовательных целых чисел, среди которых хотя бы одно число делится на 2 и ровно одно число делится на 3.
Таким образом, разность (a3 + b3 + c3 + d3) – (a + b + c + d) = (a3 – а) + (b3 – b) + (c3 – c) + (d3 – d) кратна 6. По условию сумма целых чисел a + b + c + d кратна 6, Следовательно, сумма их кубов a3 + b3 + c3 + d3 также кратна 6.
Отметим, что первую часть доказательства можно было провести иначе, а именно: рассматривая все возможные остатки от деления целого числа на 6, показать, что числа n3 и n имеют одинаковые остатки при делении на 6.
4. В треугольнике ABC медиана BM равна стороне AC. На продолжениях сторон BA и AC за точки A и C выбраны точки D и E соответственно, причём AD = AB и CE = CM. Докажите, что прямые DM и BE перпендикулярны
Пусть F – середина отрезка ВМ (см. рис.). Из условия задачи следует, что MF = MA = MC, значит, ÐАFC = 90°. Кроме того, из условия следует, что AF – средняя линия треугольника DBM, а CF – средняя линия треугольника ВМЕ. Следовательно, DM || AF, BE || CF, поэтому, DM^ВЕ, что и требовалось.
5. Квадрат разделили на прямоугольники, проведя несколько разрезов, параллельно его сторонам (от края до края). Оказалось, что сумма периметров этих прямоугольников в семь раз больше периметра исходного квадрата. Какое наибольшее количество прямоугольников могло получиться?
Рассмотрим квадрат ABCD со стороной a, тогда его периметр равен 4а. Пусть проведенные разрезы разбили сторону АВ на m отрезков, а сторону ВС – на n отрезков (см. рис). Количество получившихся при этом прямоугольников равно mn.
Так как каждый отрезок, лежащий на границе квадрата ABCD, является стороной одного из таких прямоугольников, а каждый внутренний отрезок – стороной двух прямоугольников, то сумма периметров образовавшихся прямоугольников равна: 2(m – 1)a + 2(n – 1)a + 4a = 2(m + n)a.
По условию задачи: 2(m + n)a = 28а, то есть m + n = 14. Если сумма двух положительных чисел m и n фиксирована, то их произведение достигает наибольшего значения, когда m = n. Это следует, например, из неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим 
или из того, что наибольшее значение квадратичной функции f(x) = x(S – x) достигается при 
.
муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников
по математике в 2009-2010 учебном году
1. Кузнечик прыгает по координатной прямой. Сначала он прыгает из точки с координатой 0 в точку с координатой 1, а длина каждого следующего прыжка вдвое больше предыдущего. Сможет ли он вернуться в исходную точку, двигаясь подобным образом? (Направление каждого прыжка: влево или вправо – не зависит от направления предыдущего прыжка.)
Первый способ. Поскольку длина первого прыжка нечетна, а остальные длины прыжков – четные, то и сумма длин всех прыжков нечетна. А для того, чтобы вернуться в начальную точку, кузнечику нужно преодолеть путь четной длины.
Второй способ. Заметим, что в любой момент длина последнего прыжка больше, чем сумма длин всех предыдущих прыжков: 2n > 1 + 2 + 22 + … + 2n – 1 = 2n – 1. Это означает, что после n – 1 прыжков кузнечик не может оказаться от начала координат на расстоянии 2n.
2. Квадратный трехчлен f(x) = x2 + аx + b имеет два корня, один из которых лежит внутри отрезка [0; 1], а другой – вне этого отрезка. Определите знак f(b).
Ответ: f(b) |b|. Учитывая, что x1 > 0, рассмотрим два случая:
1) Если x2 1, то b = x1×x2 > 1 и x2 > b. Следовательно, bÎ(x1; x2), то есть f(b) 1 и заканчивается числом m. Тогда число n + m, являющееся суммой двух чисел одного цвета, можно также представить и как сумму двух чисел другого цвета: n + m = (n – 1) + (m + 1).
муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников
по математике в 2009-2010 учебном году