Теорема четырех красок это что

Проблема четырёх красок

Содержание

Общие идеи доказательства [ править ]

Начнем с того, что заменим задачу раскраски плоской карты на эквивалентную ей проблему. Выберем столицу у каждой страны и соединим дугами столицы стран, имеющих общий сегмент границы. В результате получится планарный граф. Тогда следующая теорема эквивалентна теореме выше:

Теперь, если есть грань, образованная нашим планарным графом, не являющаяся треугольником, мы можем добавлять ребра без внедрения новых вершин до тех пор, пока все грани не станут треугольниками. Если полученный граф является раскрашиваемым в не более чем [math]4[/math] цвета, то и исходный граф раскрашиваем так же (так как удаление ребер не увеличивает хроматическое число). Поэтому достаточно доказать теорему для триангулированных графов, и без потери общности мы предполагаем, что граф триангулирован.

Для дальнейших рассуждений нам понадобится следующее утверждение:

\nexists [/math] [math]v \in V[/math] : [math]deg(v) \leqslant 4[/math]

Приведем пример нахождения неизбежной конфигурации:

Источник

Задача о четырех красках

История задачи о четырех красках уходит в XIX в. В 1850 г. шотландский физик Фредерик Гутри обнаружил, что лондонские студенты-математики увлекаются играми по раскрашиванию карт, а двумя годами позже его брат Фрэнсис Гутри раскрасил карту Англии в четыре цвета и предположил, что такого количества красок хватит, чтобы раскрасить любую карту. Но только в 1878 или 1879 г. математик Артур Кэли сформулировал следующую задачу: «Доказать, что любую географическую карту на плоскости (или на глобусе) можно правильно закрасить четырьмя красками». Правильной он назвал раскраску, когда любые две страны с общей границей окрашены в разные цвета. С этого времени многие крупные математики занялись данной проблемой.

В 1890 г. английский математик Перси Хивуд доказал, что любую карту на плоскости можно раскрасить в пять цветов. Но проблема четырех красок решению не поддавалась. Сначала решения были частными. Так, в 1968 г. американские математики О. Оре и Г. Стемпл показали, что в четыре цвета можно раскрасить любую карту, на которой имеется не больше 40 стран.

Удовлетворительно доказать эту теорему (а это действительно теорема!) удалось американским ученым Кеннету Аппелю и Вольфгангу Хакелю. Они использовали один компьютер, с помощью которого просмотрели 1936 типов карт. Для каждого из них осуществлялась проверка, можно ли обнаружить в нем карту меньшего размера, которая не раскрашивается в четыре цвета правильно. Для всех случаев был получен ответ: «Нет». Это была первая крупная задача, решенная с помощью компьютера. Правда, далеко не все математики признали это решение. В 1997 и в 2005 гг. данная задача была решена другими способами, но также с помощью компьютеров.

В математике количество цветов, необходимых для закрашивания карты, называется хроматическим числом. Для односторонних поверхностей, таких как лента Мёбиуса или бутылка Клейна (о них будет рассказано ниже), оно не равняется четырем.

Игра в четыре краски

Популяризатор науки Стивен Барр придумал логическую игру для двух человек, которая называется «Четыре краски». Берутся четыре цветных карандаша и чистый лист бумаги. Первый игрок рисует пустую область и передает ход сопернику. Тот закрашивает ее, используя один из четырех карандашей, и рисует вторую пустую область. Первый игрок закрашивает область соперника и рисует свою. Так и продолжается игра. Тот, кто вынужден будет во время своего хода взять пятый карандаш, проигрывает. Проигрыш вовсе не означает, что теорема не верна, он лишь показывает, как трудно было ее доказать.

Источник

Проблема четырёх красок

В 1852 году Фрэнсисом Гутри, составляя карту графств Англии, обратил внимание, что для такой цели хватает четырёх красок, Его брат, Фредерик, сообщил об этом наблюдении известному математику О. Де. Моргану, а тот — математической общественности. Точную формулировку гипотезы опубликовал А. Кэли (1878). Доказать теорему долгое время не удавалось. В течение этого времени было предпринято множество попыток как доказательства, так и опровержения, и эта задача носила название проблемы четырёх красок.

Для простых карт достаточно и трёх цветов, а четвёртый цвет начинает требоваться, например, тогда, когда имеется одна область, окружённая нечётным числом других, которые соприкасаются друг с другом, образуя цикл. Теорема о пяти красках, утверждающая, что достаточно пяти цветов, имела короткое несложное доказательство и была доказана в конце XIX века, но доказательство теоремы для случая четырёх цветов столкнулось со значительными трудностями.

Теорема о четырёх красках была доказана в 1976 году Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном из Иллинойского университета. Это была первая крупная математическая теорема, доказанная с помощью компьютера. Первым шагом доказательства была демонстрация того, что существует определённый набор из 1936 карт, ни одна из которых не может содержать карту меньшего размера, которая опровергала бы теорему. Авторы использовали специальную компьютерную программу, чтобы доказать это свойство для каждой из 1936 карт. Доказательство этого факта заняло сотни страниц. После этого Аппель и Хакен пришли к выводу, что не существует наименьшего контрпримера к теореме, потому что иначе он должен бы содержать какую-нибудь из этих 1936 карт, чего нет. Это противоречие говорит о том, что контрпримера нет вообще.

Изначально доказательство было принято не всеми математиками, поскольку его невозможно проверить вручную. В дальнейшем оно получило более широкое признание, хотя у некоторых долгое время оставались сомнения. Чтобы развеять оставшиеся сомнения, в 1997 году Робертсон, Сандерс, Сеймур и Томас опубликовали более простое доказательство, использующее аналогичные идеи, но по-прежнему проделанное с помощью компьютера. Кроме того, в 2005 году доказательство было проделано Джорджсом Гонтиром с использованием специализированного программного обеспечения (Coq v7.3.1).

Источник

Проблема четырех красок

Как и множество математических парадоксов, знаменитая Проблема четырех красок возникла в области, на первый взгляд, далекой от математики. В 1852 году англичанин Фрэнсис Гатри (по утверждениям одних, составляя карту британских графств, по утверждениям других, очевидно, на досуге, раскрашивая ее) неожиданно для себя выяснил, что, имея в наличии всего лишь четыре краски, он может совершенно свободно раскрасить карту таким образом, что две соседние области не будут окрашены в один и тот же цвет. С увлечением предаваясь этому занятию, через некоторое время Гатри задал себе вопрос: а что, если не только карты британских графств, но и любая другая карта с любым количеством областей может быть раскрашена с использованием минимального числа красок — четырех, и при этом две граничащие области не будут иметь общую окраску. Возможно ли это? Так родилась Проблема четырех красок.

Проблема четырёх красокПоломав некоторое время голову над придуманной самим же проблемой, Гатри «перепоручает» ее знаменитому Уильяму Гамильтону — ирландскому математику и физику, который, пытаясь «изобрести» карту, для раскрашивания которой потребовалось бы более четырех цветов, потерпел неудачу, но тем не менее оставил вопрос открытым, не поставив под окончательное сомнение существование такой карты.

С этого момента Проблема четырех красок — одновременно необыкновенно простая и удивительно сложная — начала свое триумфальное шествие по миру, и в конце XIX века была решена британским математиком Альфредом Кемпе, который научно обосновал использование для раскраски любой карты именно четырех красок. Однако радость Кемпе была недолгой: всего лишь через 10 лет Перси Хивурд опроверг доказательство Кемпе, в свою очередь представив новое решение Проблемы четырех красок, которое на деле также оказалось не лишенным существенных недостатков.

С течением времени, опираясь в большей степени на топологию, которую, в отличие от геометрии, не интересуют точные формы и размеры, математики сумели доказать, что только карта, содержащая определенное число областей (25, 27, 35, 39), может быть раскрашена четырьмя красками. Иными словами, рассматривались исключительно частные случаи решения проблемы, а общий — главнейший — для бесконечно большого числа областей — оставался непокоренным.

Однако в 1976 году математики Вольфганг Хакен и Кеннет Аппель, проанализировав с помощью компьютера 1482 карты, выяснили и научно доказали, что четырех красок для раскрашивания любой карты будет достаточно. Казалось бы, Проблема четырех красок решена, однако — не тут-то было. Любое доказательство — особенно сенсационное — требует тщательной проверки, но, поскольку в процессе решения проблемы одну из важнейших ролей сыграла компьютерная техника, результат был подвергнут сомнению со стороны тех математиков, которые, отказав компьютеру в надежности, требовали предъявить письменные — пошаговые — доказательства решения Проблемы четырех красок. На эти требования Хаген и Аппель утверждали, что их доказательство включает в себя такое количество текста и — самое главное — диаграмм, что для их проверки без помощи техники у некоторых скептиков не хватит и целой жизни. Таким образом, на сегодняшний день, несмотря на очевидное решение Проблемы четырех красок, она не может быть названа таковой в полной мере.

Источник

Теорема четырех красок это что

Данная статья является реферативным изложением основной работы. Полный текст научной работы, приложения, иллюстрации и иные дополнительные материалы доступны на сайте V Международного конкурса научно-исследовательских и творческих работ учащихся «Старт в науке» по ссылке: https://school-science.ru/5/7/34582

«Мышление начинается с удивления» – заметил 2500 лет назад Аристотель.

Наш современник Сухомлинский считал, что «Чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг».

Многие люди считают математику сухой и неинтересной наукой, которую сложно понять и часто задают вопрос преподавателю: «Зачем нужна математика?». С постановкой такого вопроса я не согласен. Мне всегда нравилось узнавать что-то новое и интересное, и когда я услышал на уроке геометрии, что существуют теоремы, которые до сих пор не доказаны, то решил посмотреть в интернете, что это за теоремы. Так, я в первые узнал о теореме о четырех красках и решил изучить ее подробнее и узнать где ее можно применить в жизни.

Проблема исследования: рассмотреть задачи, которые можно решить, применяя теорему о четырех красках.

Цель проекта – рассмотреть практическое применение теоремы о четырех красках.

Объект исследования – теорема о четырех красках.

Предмет исследования – задачи, решаемые с помощью теоремы о четырех красках

Задачи исследования

1. Изучить историю возникновения проблемы четырех красках, ее практическое применение.

2. Рассмотреть задачи, решенные с помощью теоремы о четырех красках.

3. Подобрать и решить задачи с помощью теоремы о четырех красках.

4. Изготовить наглядные пособия, применяя теорему о четырех красках

В 1852 году при раскрашивании карты Британии студент Френсис Гутри выдвинул гипотезу: что любую карту можно раскрасить четырьмя цветами, при условии, чтобы никакие две смежные области (имеющие общую границу) не оказались окрашенными в один и тот же цвет, Проблема возникла в том, чтобы решить, верна ли гипотеза!

Сам доказать ее он не смог. Тогда он передал ее через своего брата, тоже студента, известному английскому математику Августу Де Моргану. Так эта проблема дошла до математической общественности. И лишь после ее точной формулировки, другим английским математиком Артуром Кэли Год (1878) стал считаться годом рождения проблемы четырех красок.

Ее доказательство длилось более ста лет. В этот период была основана новая ветвь в математики – Топология. Которая изучает в частности – свойства геометрических фигур, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Было найдено решение этой задачи для карт, расположенных на поверхностях сложной формы. Также было найдено верное доказательство того, что для любой карты достаточно пяти цветов; были обнаружены характерные свойства карт, для раскраски которых достаточно всего двух или трех красок, но сама задача так и не поддавалась доказательству. Ее неприступность объяснялась тем, что с ростом числа рассматриваемых стран на карте, лавинообразно росло число вариантов их раскраски, что затрудняло проверить правильность решения. Слишком большой был объем. И лишь в 1976 Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен из Иллинойского университета смогли доказать гипотезу. На помощь математикам пришли Компьютеры.

Задача о четырех красках стала первой задачей в доказательстве которой применили неклассическое доказательство (было рассмотрено 1936 карт, 400 страниц вычислений). В честь такого события, Почтой США была выпущена Марка с фразой «Четырех цветов достаточно».

И, т.к. классического ее доказательства до сих пор еще нет (доказано пока для 41 страны), то она попала в число семи математических задач тысячелетия, за решение которых Институт Клэя предлагает приз в 1 млн долларов.

Эта история побудила меня поставить перед собой вопрос: «А смогу ли я раскрасить карту четырьмя красками, да так, чтобы ни одна из примыкающих соседних к ней областей не имела один и тот же цвет?» (с поправкой: точка их соприкосновения не считается общей границей). Раскрашивая карту Московской области, состоящей из 41 области, я сначала раскрашивал ее в произвольной форме, без какой-либо системы. И каждый раз я терпел неудачу. Тогда я решил начать с любой области и вокруг нее по часовой стрелке раскрашивал соседние смежные области (области с общей границей), так каждый раз расширяя круг на новые области. И у меня получилось (см. Приложение 1).

Но этого мало для такого утверждения. Мне предстоит рассмотреть и другие варианты карт. Проанализировав свои раскраски, я заметил, что каждый раз я раскрашивал область, состоящую из четырех областей, каждая из которых примыкала к трем другим. Иначе можно сказать, что они смежные (Область, непосредственно примыкающая к границе других областей, называют смежной)

Еще одно наблюдение я сделал, раскрашивая карту, это то, что двух, трех красок мне было недостаточно для моего условия задачи, пяти красок было вполне достаточно.

Но вопрос стоял о четырех красках.

Перед собой я поставил следующую задачу: Сколько стран могут коснуться друг друга напрямую, чтобы все страны имели общие смежные границы? И, сколько потребуется красок для их раскраски? «Форма» стран может отличаться от приведенных примеров, страны взаимосмежны.

1 вариант: две страны могут коснуться друг друга напрямую. Очевидно, что нам нужны 2 цвета.

Есть ровно 2 возможности, когда 1 или 2 страны расположены на внешней границе.

2 вариант: 3 страны могут коснуться напрямую и сходящиеся в одной точке.

Поскольку у всех стран есть 2 соседние страны, нам нужно 3 цвета.

Существует 3 различных варианта, где на внешней границе расположены 1, 2 или 3 страны.

3 вариант: также возможно, что 4 страны, сходящиеся в одной точк; в этом случае потребуется 2 цвета, но осталось только 2 варианта. Поскольку каждая страна имеет 3 соседние страны, нам нужно 4 цвета.

Отвечая на вопрос сколько стран напрямую примыкают друг к другу (т.е. каждая страна имеет общую границу с другими), я могу ответить, что максимальное число таких стран – 4.

А вот дальше для красок следовала закономерность: (рис. а) для n четных разбиений хватало 3 красок (это для карт, образованных двумя концентрических окружностями) И для карт с нечетным числом стран сходящимися в одной точке, для n нечетных разбиений (рис. б) 4 красок (для карт, образованных двумя концентрическими окружностями). Здесь хочу отметить что для карт с четным числом стран (сходящимися в одной точке) 4 и больше всегда 2 цвета

Чтобы двигаться дальше мне потребовалось некоторые уточнения в формулировках терминов, т. к. Рассматриваемая теорема о четырех красках относится к новой ветви математики – Топологии, то некоторые математические понятия надо уточнить: что называют картой в топологии

Определение: картой называется некая область на плоскости образованная разбиением ее на части (называемые странами) регулярным образом примыкающих друг к другу и имеющие границы.

Далее, изменив форму карты, я хотел ответить на вопрос: как повлияет изменение формы карты на ее раскраску?

Мой вывод следующий – для задачи раскрашивания карты неважно, какими являются границы стран, прямыми или нет. Карту можно немного растягивать, сжимать, искривлять стороны, и при этом число красок, необходимых для ее правильного раскрашивания, не изменится. На рисунке показана многоугольная карта и карта, полученная из нее искривлением сторон. В моем случае, везде потребуется 3 краски. Форма наших карт, не влияет на раскраску.

Док-во: Предположим: Всякую карту, образованную прямыми, можно раскрасить в два цвета. Ясно, что карту, образованную одной прямой можно раскрасить в два цвета (рис. 2,а). Докажем, что если карта, образованная прямыми, раскрашена в два цвета, то карта, полученная из нее добавлением новой прямой также может быть раскрашена в два цвета (рис. 2,б). Действительно, новая прямая делит раскрашенную карту на две карты, каждая из которых раскрашена в два цвета. Причем к самой прямой примыкают пары областей, закрашенные в один цвет. Перекрасим одну из карт-половинок (безразлично, какую именно), изменив цвет каждой области на противоположный. Получим раскраску в два цвета всей карты (рис. 2,в). Поскольку любую карту, образованную прямыми можно получить последовательным добавлением прямых, то всякая такая карта может быть раскрашена в два цвета

Это есть Теорема о двух красках.

Дальше я рассмотрел вариант для двух, трех пересекающихся окружностей. Докажем, что любую карту, образованную окружностями можно раскрасить двумя цветами:

Окр.1 и Окр.2 есть замкнутые карты. При пересечении Окр.1 окружностью Окр.2, Окр.2 делит Окр.1 на две карты, линией пересечения является граница Окр.2. Очевидно, что карту Окр.1 можно раскрасить в два цвета.

Также можно сказать и про карту Окр.2, что Окр.1 делит Окр.2 на две карты, линией пересечения является граница Окр.1 и очевидно которую тоже можно раскрасить в два цвета.

В результате пересечения окружностей Окр.1 и Окр.2, мы получили три замкнутые области область- 1 Окр.1, общую область-2 Окр.1 и Окр.2, и область-3 Окр.2, которые можно раскрасить двумя цветами (например, красный и синий) следующим образом: область-1 Окр.1 в красный цвет, общую область-2 зеркально в синий цвет, область-3 Окр.2 зеркально в красный цвет.

Таким образом, мы получили карту, образованную двумя окружностями, раскрашенную двумя цветами.

В результате я получил вторую карту, образованную взаимным пересечение трех окружностей. Осталось раскрасить ее применяя зеркальный способ в два цвета.

И вновь, все области раскрашены в разные цвета.

Так же в рассматриваемых случаях для карт, образованных последовательно добавлением четвертой, пятой окружности, в результате каждый раз новая окружность делит карту на две части и после зеркального раскрашивания в два цвета, получаем новую карту, мы видим, что такую карту всегда можно раскрасить в два цвета.

Отсюда можно сказать, что любую карту, образованную n- окружностями можно раскрасить двумя цветами.

Используя вопрос о том, какие свойства прямых и окружностей, доказанных выше, используются при раскрашивании карт двумя цветами, можно ответить на вопрос: можно ли раскрасить двумя цветами карту образованную а) параболами, б) эллипсами

Мой ответ да и для парабол, и для эллипсов. Т. к. при раскрашивании карт двумя цветами используются свойства: прямые и окружности делят карту (плоскость) на две части, такую карту можно раскрасить двумя цветами применяя так называемый зеркальный способ раскраски. Это свойство выполняется и для парабол, и для эллипсов. Откуда следует, что карту, образованную этими фигурами, можно раскрасить в два цвета. Двух красок достаточно для раскрашивания карты, образованной либо линиями, идущими от одного края листа до другого, либо замкнутыми кривыми. Проведя еще одну кривую, пересекающую всю карту от одного ее края до другого, мы должны, как и прежде, изменить все цвета по одну сторону от кривой на противоположные. Если вновь проведенная кривая замкнута, то изменить нужно окраску всех областей, попавших внутрь кривой, или, если угодно, всех областей, оказавшихся снаружи. Замкнутые кривые могут иметь и точки самопересечения, но в этом случае перекрашивание областей более сложное.

А вот вариант с пересекающимися окружностями, содержащими хорды, показал практически, что в этом случае достаточно 3 цветов. На плоскости нарисовано n окружностей. В каждой окружности проведено по хорде так, что хорды двух окружностей имеют между собой самое большое одну общую точку. На рисунке показано, что получившуюся карту всегда можно раскрасить тремя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета.

Раз у меня получилось раскрасить географическую карту минимальным числом красок, возник вопрос, про раскраску геометрических фигур. Сколько цветов хватит для раскраски карт, состоящих из многоугольников. Как было сказано ранее, что определение многоугольника в топологии не отличается от геометрического определения, отличается лишь названием: стороны- это границы, вершина – это точка в которой сходятся границы, геометрическая фигура – это страна, множество стран, примыкающих друг другу – это карта.

Сначала, я рассмотрел такие карты на плоскости, потом усложнил задачу, рассмотрев карты, образованные правильными многогранниками.

Используя уже имеющиеся знания о раскраске карт, я попробовал рассмотреть более сложные карты, составленные из многоугольников, заполняющих всю плоскость. Как и раньше требуется, чтобы любые два многоугольника или не имели общих точек, или имели общие вершины, или имели общие стороны.

Примеры таких карт дают паркеты, некоторые из которых представлены на рисунке

Раскрашивая эти карты, я придерживался следующего моего вывода: для того чтобы определить сколько цветов для раскраски потребуется, надо определить (просто посчитать) сколько областей-стран примыкают друг к другу, имея смежные границы. Для этого надо найти любую вершину внутри карты и посчитать, сколько стран подходит к ней.

И вот, что получилось: первая карта – это в общем виде шахматная карта. Она получена путем разбиения ее прямыми линиями от начала и до конца (это теорема о двух красках). И для нее потребуется две краски.

Вторая карта тоже образована пересечением прямых от начала и до конца. И по теореме о двух краска эта карта раскрашивается двумя цветами.

В третьей карте я нашел страны примыкающие друг к другу, сходящиеся в одной вершине, их три, следовательно, для раскраски понадобится три краски.

Ну и наконец, я перешел к многогранникам: вопрос стоит тот же: сколько цветов для раскраски потребуется для каждого многогранника?

На рисунке показаны карты, образованные поверхностями правильных многогранников: тетраэдра, куба(гексаэдр), октаэдра, икосаэдра и додекаэдра. Это их греческое наименование по числу граней.

Поверхность многогранника можно рассматривать как карту, странами которой являются грани многогранника, а границами – его ребра. Существует только пять правильных многогранников.

Многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Для ответа на поставленный вопрос, мне пришлось изучить каждый многогранник: из каких фигур они состоят, сколько граней (стран), сколько ребер (границ), сколько вершин.

Тетраэдр: 4 грани (страны), 6 ребер (границ), 4 вершины, число ребер (границ) при вершине 3, число сторон у грани 3.

Куб (гексаэдр): 6 граней (стран), 12 ребер (границ), 8 вершин, число ребер (границ) при вершине 3, число сторон у грани 4.

Октаэдр: 8 граней (стран), 12 ребер (границ), 6 вершин, число ребер (границ) при вершине 4, число сторон у грани 3.

Икосаэдр: 20 граней (стран), 30 ребер (границ), 12 вершин, число ребер (границ) при вершине 5, число сторон у грани 3.

Додекаэдр: 12 граней (стран), 30 ребер (границ), 20 вершин, число ребер (границ) при вершине 3, число сторон у грани 5.

Т.к в топологии все фигуры можно рассматривать как карту, состоящую из стран примыкающих друг к другу, карты на плоскости и в пространстве эквивалентны(идентичны) и изменение формы границ не влияет на рас краску, я перенес карту многогранника на плоскость сначала в виде таблиц: и рассматривал их как карту.

Сплошной цвет в таблице – это основание многогранника

Разделения на части – это грани многогранника

Применив раскраску на плоскости вот что получилось:

Раскрашивая эти карты, я рассуждал так:

Для тетраэра: условно я разделил его на две области:

2. область, состоящую из трех частей (по числу граней) примыкающих друг к другу. Очевидно, что здесь понаобятся 3 цвета.

Для куба: я разделил куб на три части:

1. верхнее основание,

2.средняя часть, разделенная на четыре части (по числу граней). Примыкающие друг к другу

3 нижнее основание

Здесь видно, что средняя часть разделяет основания. То основания имеют один и тот же цвет. А средняя часть имеет четыре области примыкающие друг к другу, очевидно применим два цвета, но отличные от оснований. Следовательно, всего потребуется 3 цвета.

Для октаэдра: я разделил его на две части: Каждая разделена на четыре части по числу граней. Здесь понадобилось 2 цвета.

Для икосаэдра: разделил на три части, каждая разделена по числу граней соответсвенно своей части.

1 часть разделена на 5 частей по числу граней

2 часть разделена на 10 частей по числу граней. Причем мне удобно было сохранить треугольную форму частей.

3 часть разделена на 5 частей по числу граней.

Здесь мне понадобилось 3 цвета.

Для додекаэдра: четыре части:

1.часть верхнее основание

2.часть разделена на 5 частей по числу граней

3.часть разделена на 5 частей по числу граней

4. часть нижнее основание

Для раскраски мне понадобилось 4 цвета.

Для ответа на вопрос сколько красок потребуется для раскраски карт, изучив доказательства и примеры решения задач, я выделил следующие правила:

Для плоскостной карты

2 краски, если карта разбита линией прямой, волнистой, овалом, окружностями

2 краски, если во внутренней вершине карты сходится четное число сторон(стран) (например раскраска паркетов: 4 стороны)

3 краски, если n разбиений четно (концентрические окружности) и (нечетное число стран при вершине) (например раскраска паркетов: 3 стороны, 5 сторон)

4 краски, если n разбиений нечетно (для концентрических окружностей)

И если четное число стран при вершине 4 и больше, то всегда 2 краски

2 краски – если в каждой вершине сходится 4 ребра

3 краски – если в каждой вершине сходится 3 ребра, каждая грань имеет четное число сторон.

3 краски – если в каждой вершине сходится нечетное количество ребер >3, и грани имеют нечетное число сторон

4 краски – если в каждой вершине сходится 3 ребра, грани имеют четное +нечетное число сторон=нечетное число сторон.

Применяя полученные знания. Я изготовил макеты многогранников. Для этого я сначала раскрасил их развертки.

Раскрашивая контурную карту цветными красками я и не предполагал, что когда мне задали вопрос: « А хватит ли мне четырех разных цветных карандаша для раскраски карты, да так, чтобы границы смежных областей были раскрашены в разные цвета?», то передо мной приоткрылась дверь в неизведанный еще мне мир математики.

Для ответа на поставленный, казалось бы, очень простой вопрос, я подробнее познакомился с теоремой о четырех красках. Начиная с ее истории возникновения и ее практического применения.

Раскрашивать карту четырьмя красками оказалось очень увлекательной задачей. Потребовалось проявить максимум внимания и умение предвидеть результат на несколько шагов вперед. Найти оптимальные способы раскраски. И на практике применить полученные знания.

Не применяя каких-либо формул, я убедился в правильности доказательства теоремы. А именно: любую географическую карту на плоскости (или на глобусе) можно правильно закрасить четырьмя красками. При этом Раскраска карты называется правильной, если любые стороны, имеющие на карте общую границу, окрашены в разные цвета. Наши исследования наглядно ответили на этот вопрос. (У меня получилось раскрасить карту Московской области, состоящей из 41области, карту России). Также я сделал макеты правильных многоугольников и раскрасил их минимально возможным количеством цветов.

Продвигаясь вглубь своих исследований, я узнал, что картой может называться не только географическая, но и любая область, разбитая на части, регулярным образом примыкающие друг к другу. Что максимальное число стран, напрямую примыкающих друг к другу, – 4.

Что есть карты, для раскраски которых достаточно 2-х, 3-х, 4-х красок.

Главное, она дала старт новому разделу математики- Топологии – науке, изучающей устойчивые свойства предметов при любых деформациях без разрывов. Иначе ее называют пластилиновой геометрией, где чашка и бублик неотличимы друг от друга. С этим мне еще предстоит познакомится. С миром пространства и абстракции. И после этого, стоит ли задавать вопрос: зачем нужна математика?

Источник

• ← если ттг повышен а т4 в норме что это значит
• Как настроить BIOS: подробное руководство с картинками →